Číselné soustavy

Z Maturita 2012

Přejít na: navigace, hledání

co to jsou číselné soustavy
rozdělení číselných soustav (poziční, nepoziční)
obecný zápis čísla v poziční číselné soustavě
binární a hexadecimální soustava
nibl
převody z desítkové do libovolné číselné soustavy, princip, příklad
převod z libovolné číselné soustavy do desítkové, princip, příklad

10. Číselné soustavy

Číselná soustava

číselná soustava je způsob reprezentace čísel
zápis čísla dané soustavy je posloupností symbolů, které se nazývají číslice
podle způsobu určení hodnoty čísla z dané reprezentace rozlišujeme dva hlavní druhy číselných soustav: poziční číselné soustavy a nepoziční číselné soustavy

Poziční číselné soustavy

poziční soustavy jsou charakterizovány tzv. základem neboli bází (anglicky radix, značí se r), což je obvykle kladné celé číslo definující maximální počet číslic, které jsou v dané soustavě k dispozici
v běžně používaných číselných soustavách se jednotlivé číslice zapisují za sebe, nijak se neoddělují

Decimální (desítková, dekadická) soustava

základem je číslo 10 (r = 10), toto je pravděpodobně odvozeno od počítání s deseti prsty na rukou
pro zápis čísel používá symboly 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
je dnes nejužívanější číselná soustava jak v běžném životě, tak ve vědě a technice

1000	100	10	1
10³	10²	10¹	10⁰
4	2	8	6

4286_D = 4·10³ + 2·10² + 8·10¹ + 6·10⁰ = 4·1000 + 2·100 + 8·10 + 6 = 4286_D

Binární (dvojková) soustava

základem je číslo 2 (r = 2)
pro zápis čísel používá symboly 0 a 1
používá se ve všech moderních digitálních počítačích a elektronice, neboť její dva symboly (0 a 1) odpovídají dvěma jednoduše rozdělitelným stavům elektrického obvodu (vypnuto a zapnuto), popřípadě nepravdivosti či pravdivosti výroku (false a true)

8	4	2	1
2³	2²	2¹	2⁰
1	1	0	1

1101_B = 1· 2³ + 1· 2² + 0· 2¹ + 1· 2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13_D

Hexadecimální (šestnáctková) soustava

základem je číslo 16 (r = 16)
pro zápis čísel používá symboly 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15)
písmena A - F představují (reprezentují) cifry s hodnotou 10 - 15
díky jednoduchému vzájemnému převodu mezi šestnáctkovou a dvojkovou soustavou, se hexadecimální zápis čísel často používá v oblasti informatiky, například pro adresy v operační paměti počítače, pro zápis barvy v HTML kódu nebo IPv6 adresaci
je to v podstatě zkrácená forma zápisu dvojkové soustavy

256	16	1
16²	16¹	16⁰
4	B	E

4BE_H = 4· 16² + 11· 16¹ + 14· 16⁰ = 4· 256 + 11·16 + 14 = 1214_D

Další poziční číselné soustavy

Čtyřková – polovina bajtu = 4 bity, 16 stavů (použití v osmibitových počítačích a packed BCD)
Sedmičková – dny v týdnu
Osmičková – (Oktalová) dříve se používala pro adresaci
Dvanáctková – hodiny (dříve též jednotka tucet)
Šedesátková – nejstarší číselná soustava, snadná dělitelnost čísly 2,3,4,5,6, čas (sekundy) a geometrie (dříve též jednotka kopa)

Nibl

nibl je polovina bajtu tj. 4 bity

Příklad:

číslo 1010 1101_B je číslo o velikosti 1B(bajtu) tj. 8b(bitů), z toho vyplývá, že je složeno ze dvou niblů
první nibl je 1010 a druhý 1101, nibl obsahuje 4 číslice, protože každá z číslic představuje(reprezentuje) 1 bit

Nepoziční číselné soustavy

hodnota číslice není dána jejím umístěním v dané sekvenci číslic
stačí sečíst hodnoty jednotlivých číslic
výhody: jednoduché sčítání a odečítání
nevýhody: dlouhý zápis čísel, neobsahuje symbol pro nulu a záporná čísla
Římské číslice, Egyptské číslice, Řecké číslice, Etruské číslice

Příklad:

Pokud: A = 1, B = 10, C = 100, D = 1000
Pak: AAB = 1 + 1 + 10 = 12; AABBBBCCCCCDDD = 3542

Římské číslice

způsob zápisu čísel pomocí písmen abecedy
dnes se tento způsob zápisu čísel používá jen výjimečně
pro snazší zapamatování se dají používat mnemotechnické pomůcky jako např. Ivan Vedl Xénii Lesní Cestou Do Města (nebo Ivan, Vašek, Xénie Lijí Cín Do Mumie), kde první písmena určují jak jdou římské číslice po sobě

Znak	Hodnota
I	1
IV	4
V	5
IX	9
X	10
XL	40
L	50
XC	90
C	100
CD	400
D	500
CM	900
M	1000

Převody mezi soustavami

Převodní tabulka

Dec	Hex	Bin
0	0	0000
1	1	0001
2	2	0010
3	3	0011
4	4	0100
5	5	0101
6	6	0110
7	7	0111
8	8	1000
9	9	1001
10	A	1010
11	B	1011
12	C	1100
13	D	1101
14	E	1110
15	F	1111

Převody z desítkové soustavy

postupně celočíselně dělíme základem cílové soustavy, dokud nedojdeme k hodnotě nula, přičemž zbytky po dělení v opačném pořadí představují hodnoty číslic v cílové soustavě

Desítková -> Binární

dělíme dvojkou
provádíme celočíselné dělení => dělením lichých čísel nám vznikne zbytek

59_D = 111011_B

59_D	59:2 = 29	29:2 = 14	14:2 = 7	7:2 = 3	3:2 = 1	1:2 = 0
zbytek	1	1	0	1	1	1

POZOR !!!

zbytky se zapisují zprava

Malá čísla převedeme z hlavy:

rychlejší způsob než rozepisování, ikdyž možná trochu obtížnější na pochopení

13_D = 1101_B

jelikož víme, že 13 < 16 a 16 (2⁴) je číslo o velikosti 5 bitů, budeme postupovat následovně
- 1.) osmička se do třináctky vejde -> 13 - 8 (2³) = 5 -> zapíšeme 1 (1)
- 2.) čtyřka se do pětky vejde -> 5 - 4 (2²) = 1 -> zapíšeme 1 (11)
- 3.) dvojka se do jedničky nevejde -> 1 < 2 (2¹) -> zapíšeme 0 (110)
- 4.) jednička se do jedničky vejde -> 1 - 1 (2⁰) = 0 -> zapíšeme 1 (1101)
- 5.) máme výsledek 1101_B

9_D = 1001_B

jelikož víme, že 9 < 16 a 16 (2⁴) je číslo o velikosti 5 bitů, budeme postupovat následovně
- 1.) osmička se do devítky vejde -> 9 - 8 (2³) = 1 -> zapíšeme 1 (1)
- 2.) čtyřka se do jedničky nevejde -> 1 < 4 (2²) -> zapíšeme 0 (10)
- 3.) dvojka se do jedničky nevejde -> 1 < 2 (2¹) -> zapíšeme 0 (100)
- 4.) jednička se do jedničky vejde -> 1 - 1 (2⁰) = 0 -> zapíšeme 1 (1001)
- 5.) máme výsledek 1001_B

Desítková -> Hexadecimální

dělíme šestnáctkou
provádíme celočíselné dělení

175_D = AF_H

175_D	175:16 = 10	10:16 = 0
zbytek	15	10
zbytek	F	A

POZOR !!!

zbytky se zapisují zprava

Převody do desítkové soustavy

sčítáme hodnoty součinů jednotlivých číslic se základem zdrojové soustavy umocněným na pořadové číslo pozice číslice zprava počítáno od nuly

Binární -> Desítková

Sčítáme mocniny dvojky vynásobené hodnotami binárních číslic

111011_B = 1·2⁵ + 1·2⁴ + 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰ = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 59_D

Hexadecimální -> Desítková

sčítáme mocniny šestnácky vynásobené desítkovými hodnotami šestnáctkových číslic

ABCDEF_H = 10·16⁵ + 11·16⁴ + 12·16³ + 13·16² + 14·16¹ + 15·16⁰ = 11259375_D

6C_H = 6·16¹ + 12·16⁰ = 96 + 12 = 108_D

Převody mezi dvojkovou a šestnáctkovou soustavou

Binární -> Hexadecimální

převádíme z hlavy převodem po čtveřicích binárních číslic – tzv. NIBL (čtveřici sestavujeme zprava)

101110000101001101_B = 2E14D_H

Bin	10	1110	0001	0100	1101
Dec	2	14	1	4	13
Hex	2	E	1	4	D

Hexadecimální -> Binární

převádíme z hlavy po jednotlivých číslicích a vzniknou nibly. Ty řazeny za sebou dávají výsledné binární číslo

AB37_H = 1010101100110111_B

Hex	A	B	3	7
Dec	10	11	3	7
Bin	1010	1011	0011	0111